Los números naturales son los que utilizamos en la vida cotidiana para contar u ordenar y pertenecen al conjunto de números enteros positivos.
El conjunto de los números naturales se representa por ℕ y está formado por:
Nosotros consideramos que 0 es un número natural, aunque no todos los autores están de acuerdo.
Los números naturales no tienen decimal, unidad imaginaria, o bien no son fracciones.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.
Algunas utilidades de los números naturales
1 Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).
8 es el número de planetas del Sistema Solar.
2 Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal).
3 Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.
Orden en los números
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:
Ejemplo:
Como
y además:
,
Relaciones de orden
Los números naturales sirven para establecer relaciones de orden del tipo mayor que, menor que o igual que.
Tanto la suma como la multiplicación de números naturales son operaciones que cumplen las propiedades conmutativa y asociativa. Es decir, el orden de los números naturales en una suma o multiplicación no alteran el producto obtenido (a + b = b + a y a x b = b x a).
También se cumple que para sumar o multiplicar más de dos números naturales, no es necesario agruparlos de una forma determinada; Por ejemplo, (a + b) + c = a + (b + c) = a +b + c.
En las matemáticas y la ciencia se utilizan los números naturales para tres propósitos principales:
Describir la posición de un elemento en una sucesión o secuencia.
Para determinar el tamaño de un conjunto finito.
Construir los números enteros (los números naturales, más los números negativos, más el cero).
El conjunto de los números naturales comienza con el uno y sigue una progresión aritmética donde a cada nuevo valor se le suma uno. Los números naturales se utilizan en el día a día para contar y enumerar cosas, así como para cálculos simples relacionados.
En las matemáticas, los números naturales permiten definir otros números, especificar el tamaño de un conjunto finito y describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada.
Los números naturales se han utilizado a lo largo de la historia para contar y organizar, pero no fue hasta el siglo XIX cuando se definieron de forma precisa.
Y como siempre para afianzar mejor nuestro aprendizaje te dejo un video mas explicativo.
La factorización es un procedimiento por el cual se deshace la multiplicación, y su importancia es grande ya que permite simplificar fracciones algebraicas, resolver ciertas clases de ecuaciones y en general, dentro del proceso de solución de problemas de diferentes temas de la matemática, ayuda sistemáticamente, a encontrar la solución buscada.
Es por eso que su principal importancia en la vida cotidiana radica esta en el desarrollo del pensamiento lógico matemático creativo a la misma vez adquiere conocimientos para la educación superior y desarrolla la toma de decisiones.
En matemática sin duda alguna desempeña un papel fundamental, ya que sin duda alguna nos ayuda a sintetizar de manera matemática algunas ecuaciones muy grandes y complejas, la factorización es un método practico para resolver problemas principalmente algebraicos, de calculo y de trigonometría.
Volviendo a la cotidianidad, existen muchos ejemplos de factorización en la agrupación de objetos por características comunes, por escalas numéricas, en pasos para realizar una actividad, algunos de ellos son:
-La agrupación de los billetes en orden ascendente o descendente según su numeración.
-La agrupación de cucharas, tenedores y cuchillos.
-La agrupación de la ropa blanca o de color al momento de lavar.
-La serie de pasos para encender una cerilla (1. Tomar la cerilla. 2. Raspar contra un lado de la caja para encenderla).
-Agrupación de las frutas y verduras según sus características morfológicas.
-La serie de pasos para arrancar un vehículo.
-Agrupación de personas en las aplicaciones del celular según su relación filial.
-Agrupación de programas de computadora según su funcionalidad (Programas de instalación, programas de videojuegos).
-Agrupación de las herramientas según su finalidad.
Las propiedades de las operaciones son un contenido del programa escolar que todos los docentes atienden y del que nadie discute la necesidad de su enseñanza. Es interesante preguntarse si tal como se trabajan habitualmente tienen una verdadera relevancia, aportan a una concepción de enseñanza que promueva “hacer matemáticas” o simplemente forman parte del listado de contenidos que la tradición escolar indica que no deben faltar.
La presentación de las propiedades en casos puntuales, con ejemplos específicos que las ponen evidencia, no las convierten en herramientas para resolver cálculos ni se comprenden como soporte y fundamento de los algoritmos convencionales. La escasa incidencia aún, del cálculo mental en el trabajo de aula, oportunidad inmejorable para el uso implícito de las propiedades, restringe su potencialidad para la comprensión de los diferentes cálculos. Atendiendo a estas observaciones pensamos que el tratamiento de las propiedades de las operaciones puede y debe insertarse en la exploración de distintos tipos de cálculos.
Me parece relevante explorar el uso de las propiedades de las operaciones en los diferentes tipos de cálculo, analizar su función en cada caso, explicitar su uso y fundamentar su validez para elaborar o trasparentar las reglas que las distinguen. Con tal fin se ha pensado proponer la realización de los siguientes cálculos en forma simultánea usando la calculadora y el cálculo mental.
Problema
Trabajando en duplas, un integrante hace el cálculo mentalmente y registra cómo lo hizo; el otro lo hace con calculadora y registra sus acciones al pulsar las teclas y además lo que aparece en el visor.
1er cálculo
25 x 18 x 4
Es sabido que el repertorio de cálculos es
absolutamente personal y que depende de las
experiencias de cada uno, así como de las herramientas matemáticas de que se disponga.
Usando cálculo mental.
Analizaremos algunas de las opciones de
cálculo mental.
Para resolver 25 x 18 x 4 mentalmente es
posible pensar, por ejemplo:
25 x 10 = 250
Apelando a la facilidad de la multiplicación
por 10 y luego, observando que 5 es la mitad de
10 deducir que:
25 x 5 = 125
Completando con 25 x 3 = 75 que deberá
sumarse a los otros productos para obtener 450.
Hasta acá, ¿Qué propiedades se pusieron en
juego?, lo que prima son los repertorios de cálculo; sin embargo previamente hubo que pensar
en el 18 expresado como 10 + 5 + 3.
Al igual que la multiplicación que se define
para dos factores, esta suma en que se descompuso el 18, debe ser resuelta de a dos sumandos
elegidos en forma conveniente.
Estamos frente a la Propiedad Asociativa
respecto a la Adición, que nos habilita a convertir un cálculo difícil como 25 x 18 en otros
más sencillos.
Se usó la misma propiedad para pensar en el
10 como 5 x 2 y así saber sin hacer ningún otro
cálculo, que 25 por 5 debe ser la mitad de 250.
Además de la Propiedad Asociativa, en el
procedimiento anterior, está presente la Propiedad Distributiva de la Multiplicación respecto
a la Adición. Analicemos cómo se “pensó esa
cuenta”:
25 x 18 = 25 x (10 + 5 + 3) = 25 x 10 + 25 x 5
+ 25 x 3
El 25 está multiplicando al 18, que ahora se
está considerando como la suma de 10, 5 y 3, por
lo tanto el 25 está multiplicando a 10, a 5 y a 3.
Es posible, también, que algunos alumnos
perciban este problema como:
25 x 10 + 25 x 10 - 25 x 2
Las propiedades en juego son las mismas,
solo que en este caso se está utilizando un producto mayor para calcular uno menor, lo que
obliga a restar “lo que sobra” que, en este caso,
es 25 x 2.
En lugar de representarse el 18 como (10 + 5
+ 3), se lo representa como (10 + 10 - 2).
Hemos visto distintas formas de pensar el 25
x 18, pero todavía hay que resolver ese producto
por 4.
450 x 4
Este producto puede pensarse de diversas
formas:
(400 + 50) x 4 = 400 x 4 + 50 x 4 (*)
450 x 2 x 2
Nuevamente la Propiedad Asociativa respalda las descomposiciones, para finalmente completar el cálculo 25 x 18 x 4 = 1800.
Asimismo, en esta producción (*) se usa la
Propiedad Distributiva de la Multiplicación respecto a la Adición.
Otras veces y siempre de acuerdo con el tipo
de números, será conveniente observar toda la
situación planteada para buscar asociaciones
ventajosas.
25 x 4 x 18 en lugar de 25 x 18 x 4 puede
facilitar el uso de cálculos fáciles, que son generalmente los que nos conducen a números redondos o a las potencias de la base del Sistema
de Numeración Decimal.
La Propiedad Conmutativa de la Multiplicación nos permite obtener 100 en el primer
cálculo, modificando la ubicación del factor
4 y asociándolo con 25 usando el repertorio
25 x 4 = 100
Una variación de este cálculo puede ser a partir de conmutar, usar el repertorio “x 2” en forma sucesiva para llegar al 100; 25 x 2 x 2 x 18.
En este caso se están usando las Propiedades
Conmutativa y Asociativa de la Multiplicación
y la descomposición del 4 en factores y repertorio de cálculo x 2.
Usando la calculadora .
Veamos qué sucede cuando se usa la calculadora para realizar el mismo cálculo.
Al introducir los números en la calculadora
como están presentados sin analizar, irán apareciendo en el visor:
Primero, el número 425 como resultado del
producto de 25 x 18.
Luego, al introducir x 4, aparecerá el número 1800 como resultado del producto de
425 x 18. Este es el resultado de la multiplicación 25 x 18 x 4.
Queda en evidencia que la Propiedad Asociativa SIEMPRE está involucrada, no importa
cuál sea el tipo de cálculo.
Esto se debe a que la multiplicación al igual
que la suma, como ya dijimos, está definida
para dos factores; por lo tanto, para multiplicar
tres factores hay que reducirla primero a dos y
luego este producto parcial multiplicarlo por el
tercer factor.
Al usar la calculadora como instrumento, no
es necesario conmutar para facilitar el cálculo.
2º
cálculo
147 x 39 x 0 x 21
Usando cálculo mental
Si se realiza cálculo mental para resolver
esta situación, es necesario establecer, igual
que en el caso anterior, relaciones entre los
números en juego e identificar que uno de los
factores es 0.
Es posible que en una primera instancia, la
presencia del 0 y sus consecuencias no sean advertidas y se comience a pensar en adecuaciones para facilitar el producto de 147 x 39.
Al encontrar ese producto y proceder a multiplicarlo por 0, si no se tiene totalmente claro
cómo funciona la Propiedad de Absorción de
la Multiplicación (cero como elemento absorbente), aunque se sepa que esta multiplicación
da 0, quizás para algunos alumnos el resultado
será 21, ya que este factor no está “afectado”
por el 0.
La ubicación del 0 como factor en estas multiplicaciones, puede desencadenar diferentes interpretaciones que, en definitiva, demuestran las
dudas en torno a la Propiedad de Absorción.
Si el 0 está ubicado al final, probablemente
se realicen todas las multiplicaciones y solo al
final se obtenga el resultado 0 y, por tanto, se
concluya que esta debe ser su ubicación para
“absorber” a todos los productos.
¿Cuáles serán las implicancias de iniciar una
serie de multiplicaciones con 0?
La Propiedad de Absorción habilita a determinar el resultado de la operación y podemos establecer a partir de ella que “si en un
producto uno de los factores es 0, el resultado
será siempre 0”.
¿Será equivalente para los niños decir que
“multiplicar cualquier número por 0 da 0”
y que “0 multiplicado por cualquier número
da 0”?
¿Conocer estos enunciados garantiza que
no haya dudas en problemas como el que
presentamos?
Creemos que, por el contrario, cálculos como
estos deben ser propuestos a los niños, presentar diversos problemas con todas las variaciones
posibles. Hacer aparecer todas las dudas, discutirlas y analizarlas posibilitará que reconozcan
que es la Propiedad Conmutativa la que garantiza el funcionamiento de la Propiedad de Absorción cualquiera sea la ubicación del 0.
Usando la calculadora
Igual que en el caso anterior, al introducir
los números en el visor se obtienen los resultados parciales cada dos factores usando la
Propiedad Asociativa, y en el visor aparecerán
sucesivamente:
147
39
5733
0
0
21
0
Tener presente la Propiedad de Absorción
tendría como consecuencia que en ninguno de
los dos procedimientos (mental o calculadora)
se efectuara cálculo alguno, ya que la presencia
de un factor 0 debería permitir la anticipación
del resultado 0.
Así como estos ejemplos existen muchos mas sobre las propiedades que existen en las cuatro operaciones básicas, por tal razón te comparto el siguiente video que te puede ser de gran ayuda para una mejor comprensión.
Y como parte complementaria también te puede ser útil la siguiente tabla.
Las operaciones básicas tienen vital importancia y siempre están presentes en nuestra vida diaria, mediante el uso de ellas podemos hacer frente a diversas situaciones cotidianas. Es por eso que hoy te presento las operaciones mas usadas y se podrían considerar como bases de esta rama.
Las operaciones básicas de la matemática son cuatro: La suma, la resta, la multiplicación y la división.
LA SUMA: es la operación matemática que consiste en añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. Las partes de la suma son: sumandos y total.
LA RESTA: se trata de una operación de descomposición que consiste en dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella y el resultado se conoce como diferencia. Las partes de la resta son: minuendo, sustraendo, y diferencia.
LA MULTIPLICACION: es una operación de descomposición que consiste en sumar reiteradamente la primera cantidad tantas veces como indica la segunda. Las partes de la multiplicación son: multiplicando, multiplicador y producto.
LA DIVISION: es una operación de descomposición que consiste en averiguar cuantas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). Las partes de la división son: divisor, dividendo, cociente y residuo.
Es importante destacar que así, como tal, solo se presenta el concepto que no representa la mayor relevancia en el contexto cotidiano; es por ello que debes hacer de estas cuatro operaciones una aplicación en la vida diaria.
El desarrollo de las capacidades de comprensión juega un papel importante en el proceso educativo, el comprender implica tener la capacidad de entender un problema, las cualidades o habilidades de poder integrar conceptos para tener una idea clara de lo leído.
De la capacidad de analizar los planteamientos matemáticos, depende en gran parte el éxito de que los niños aprendan matemáticas, porque este análisis ayudará a organizar el pensamiento, y en consecuencia, aplicar de forma correcta la operación adecuada
La importancia del análisis de los planteamientos matemáticos propicia, además del entendimiento, la identificación de las situaciones donde los niños utilizaran operaciones aritméticas, pues de poco sirve el hecho de saber sumar, restar, multiplicar o dividir si no se sabe cuando y por qué hacerlo.
En el contexto de los cálculos numéricos, el análisis proporciona un andamiaje útil para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos aptos de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su solución en procesos más sencillos empleando números y haciendo uso de las operaciones básicas.
Como parte complementaria te de dejo un video, espero te se de ayuda y sepas que al igual que estas operaciones que pueden parecer sencillas en nuestro entorno nos movilizamos entre sumas, restas, multiplicaciones y divisiones que si no aprendes a desarrollarlas bien puede causarte perdida.
Enseñar matemáticas no es solo números es también tener la creatividad para hacer de esos números un buen conocimiento. Es por ello que a continuación te dejo algunos consejos para que los implementes en esta maravillosa rama.
FOMENTA EL TRABAJO COLABORATIVO.
Si bien la acción y la reflexión individuales son imprescindibles, es a través de las interacciones con otros que se aprende matemáticas. En este caso los otros incluyen compañeros de clase, maestros, hermanos, padres de familia, e incluso libros, videos y juegos. Las interacciones son el vehículo que propicia el cuestionamiento de las ideas presentes y la construcción de nuevas formas de mirar, por ello es recomendable utilizar mesas de trabajo para que los alumnos puedan dialogar y compartir estrategias.
ENSÉÑALES QUE EL ERROR ES UNA FUENTE DE APRENDIZAJE.
Los errores son parte fundamental en el aprendizaje de las matemáticas. Se puede llegar a creer que cometer errores indica falta de competencia o habilidad, pero en realidad es imposible aprender matemáticas sin equivocarse. Por esto es recomendable fomentar en los estudiantes pautas para poder aprovechar el error y convertirlo en una fuente de conocimiento.
PLANTEA SITUACIONES PROBLEMÁTICAS RELACIONADAS CON SU CONTEXTO.
Es común relacionar el quehacer matemático con la mera aplicación de fórmulas y procedimientos que se encuentran en los libros de texto, si bien lo anterior es importante, la construcción activa juega un papel fundamental, por ello es recomendable plantear situaciones problemáticas relacionadas con el contexto en las que los alumnos puedan aplicar las fórmulas y procedimientos aprendidos.
USA MATERIAL CONCRETO.
En matemáticas la construcción del conocimiento se da en un proceso reiterativo de acciones que van de lo concreto hacia lo simbólico y abstracto, y viceversa. El proceso debe ser un ir y venir entre las dos dimensiones: concreta y abstracta, por ellos es recomendable el empleo de materiales concretos ya que de esta manera se sientan bases sólidas para construir el aprendizaje.
PERMITE QUE LOS ALUMNOS EXPLOREN DIFERENTES VÍAS DE SOLUCIÓN.
Para el aprendizaje de las matemáticas lo más importante es el proceso, es decir los diferentes caminos mediante los cuales puede solucionar el problema así como las ideas que puede haber detrás de una respuesta, ya sea correcta o equivocada.
REALIZA PLENARIAS PARA COMPARTIR RESULTADOS Y VÍAS DE SOLUCIÓN.
Al realizar esto se comparten estrategias y se validan procedimientos y resultados, de igual forma los estudiantes pueden externas sus dudas ante aquellos planteamientos que les hayan parecido complicados.
IMPLEMENTA JUEGOS.
El juego es una actividad fundamental a través de la cual los alumnos se relacionan con el entorno. En matemáticas se puede aprovechar esta actividad natural para que a través de ella se realicen acciones que conduzcan a la construcción del conocimiento. El juego no necesariamente tiene que ser competitivo, puede involucrar la creación de escenarios en los que se simulen situaciones en donde se plantean determinados problemas a resolver.
Se pueden utilizar tanto situaciones de la vida cotidiana como situaciones fantasiosas para crear ambientes en los que se presentan problemas y preguntas particulares. Esto contribuye a que los estudiantes disfruten de las matemáticas, creando contextos en los que se divierten y al mismo tiempo aprenden.
Así como estas estrategias también existen muchas mas y como parte de la misma temática te dejo el siguiente video para que puedas conocer otras estrategias que te ayudaran en la resolución de problemas.
La tecnología puede ayudar a los estudiantes a aprender matemáticas. Por ejemplo, con calculadoras y computadores los alumnos pueden examinar más ejemplos o representaciones de formas de las que es posible hacer manualmente, de tal manera que fácilmente pueden realizar exploraciones y conjeturas. El poder gráfico de las herramientas tecnológicas posibilita el acceso a modelos visuales que son poderosos, pero que muchos estudiantes no pueden, o no quieren, generar en forma independiente. La capacidad de las herramientas tecnológicas para hacer cálculos amplía el rango de los problemas a los que pueden acceder los estudiantes y además, les permite ejecutar procedimientos rutinarios en forma rápida y precisa, liberándoles tiempo para elaborar conceptos y modelos matemáticos.
El nivel de compromiso y apropiación por parte de los alumnos, de ideas matemáticas abstractas, puede fomentarse mediante la tecnología. Esta enriquece el rango y calidad de las investigaciones porque suministra una manera de visualizar las ideas matemáticas desde diferentes perspectivas. El aprendizaje de los estudiantes está apoyado por la retroalimentación que puede ser suministrada por la tecnología; arrastre un nodo (drag a node) en un ambiente Geométrico Dinámico®, y la imagen en la pantalla se modifica; cambie las reglas definidas en una Hoja de Cálculo, y observe como los valores dependientes varían. La tecnología también suministra un punto focal, cuando los estudiantes discuten entre sí y con su maestro, acerca de los objetos que muestra la pantalla y los efectos que tienen las diferentes transformaciones dinámicas que permite realizar la tecnología.
La utilización adecuada de la tecnología en el aula de matemáticas depende del docente. La tecnología no es una panacea. Como con cualquier herramienta de enseñanza, puede usarse adecuada o deficientemente. Los docentes deberían utilizar la tecnología con el fin de mejorar las oportunidades de aprendizaje de sus alumnos, seleccionando o creando tareas matemáticas que aprovechen lo que la tecnología puede hacer bien y eficientemente (graficar, visualizar, calcular). Por ejemplo, los docentes pueden utilizar simulaciones para ofrecer a los estudiantes la experiencia de problemas que son difíciles de crear sin la tecnología, o pueden utilizar datos y recursos de Internet y de la Red para diseñar tareas para los alumnos. Las Hojas de Cálculo, el software dinámico de geometría y los micromundos, también son herramientas útiles para plantear problemas importantes.
La tecnología puede ayudar a los docentes a conectar el desarrollo de habilidades y procedimientos con un desarrollo más general de la comprensión matemática. En la medida en que algunas habilidades anteriormente consideradas esenciales se vuelven menos necesarias debido a las herramientas tecnológicas, se puede pedir a los estudiantes que trabajen en niveles más altos de generalización o abstracción. El trabajo con manipulables virtuales (simulaciones en computador de manipulables físicos) o con Logo, puede permitir a niños pequeños ampliar su experiencia física y desarrollar una comprensión inicial de ideas sofisticadas, tales como el uso de algoritmos. El software dinámico de geometría puede permitir la experimentación con familias de objetos geométricos, con un enfoque explícito en transformaciones geométricas.
Como parte complementaria y con el objetivo de poder ayudarte te presento algunas paginas destinadas a la enseñanza matemática
Mundo primaria
Mundo primaria: está centrado en los contenidos de educación infantil y educación primaria, que desarrolla a través de actividades dirigidas tanto a la comprensión como al desarrollo de destrezas y la resolución de problemas. Muy completa en su contenido y con recursos bien planteados para los profesores.
Disfruta de las matemáticas.
El esfuerzo principal de Disfruta de las matemáticas se dirige a lograr la comprensión de las ideas matemáticas, y esta característica la hace especialmente interesante. Al tiempo que ofrece la ocasión de ejercitar las destrezas básicas y aplicarlas a la resolución de problemas. Puedes acceder al siguiente enlace: http://www.disfrutalasmatematicas.com/
Geometría Dinámica
La irrupción de las aplicaciones de geometría dinámica y con capacidad de cálculo simbólico en la enseñanza de las matemáticas ha generado desde ya hace varios años un trabajo importante de profesores en todo el mundo que elaboran propuestas muy valiosas que las utilizan. En particular, aplicaciones como Geogebra, que reune ambas características, ha permitido la creación de applets que incluyen una propuesta didáctica unitaria que el profesor puede insertar de manera aislada o junto con otras en la planificación de su enseñanza. Aunque constituyen en general propuestas parciales y no suelen estar inmersas en el contexto de una unidad didáctica, no por esto son menos aprovechables por muchos profesores. Por si es de tu interés puedes acceder al siguiente enlace http://www.geometriadinamica.es/
Si tienes interés por conocer mas aplicaciones te dejo el siguiente video.
Chamorro (2009) realiza un breve análisis de la enseñanza del número y la numeración en las últimas décadas en diferentes periodos:
Periodo de 1953 a 1971:
En los textos escolares los números se presentaban, comenzando por la unidad, uno tras otro. Todo número se formaba a partir del anterior mostrando siempre colecciones de objetos. El aprendizaje se basaba en una gradación de pasos de los más simples a los más complejos. Para aprender bastaba con observar, reproducir y repetir.
Periodo de 1971 a 1992:
En los principios de la época se hizo referencia por primera vez a la necesidad de que los alumnos adquiriesen “conocimientos prenuméricos”. Es decir, se hace un trabajo introductorio y previo al número a partir de las nociones de conjunto, correspondencia, relación, etc. Además se introducen actividades a partir de materiales como el multibase de Dienes.
Periodo (años 90):
Se privilegia el procedimiento de contar como medio de introducir los números. Se introduce número por número acompañado de imágenes, mostrando que cada número incluye la suma de sus anteriores. No existe diferencia explícita entre número, colección y signo. Y aunque, las orientaciones facilitadas de la época insisten en un modelo constructivista, se sigue con el empirismo.
Periodo actual:
Según Alsina, Burgués, Fortuny, Giménez, Torra (2007, cit. en Ayala et al., 2008). los niños deben poseer una serie de habilidades para comprender y utilizar los números: saber clasificar, ordenar de menos a más y al revés, dominar estrategias de conteo, saber coordinar el movimiento de la mano que señala el objeto, conocer la inclusión (cada número incluye al anterior o anteriores), reconocer y recordar que los números están representados por signos convencionales. El aprendizaje de la numeración basado en el constructivismo, debe estar ligado a situaciones reales, implicar distintos materiales, apoyarse en estrategias previamente adquiridas (como contar con los dedos) y progresar de un modo ordenado, presentando cada número en relación con el que le precede. Mientras los niños asimilan la correspondencia entre cantidad y etiqueta, sobre cuál es mayor y menor puede ir afianzando el reconocimiento y la escritura de los números escritos. Cabe recordar que en estas primeras etapas, existe una especial dificultad para comprender las decenas, por eso, actividades manipulativas y gráficas pueden ser de ayuda (Fernández, Llopis y Pablo, 1991, cit. en Ayala et al., 2008).
La enseñanza de las operaciones matemáticas
La suma y la resta.
Es muy importante comenzar las estrategias de la suma y la resta de forma manipulativa, reforzando el trabajo de infantil para asegurarnos que se relacionan correctamente los números con su símbolo. Hay que mostrar con elementos palpables que pasa cuando a un elemento le añadimos otro (suma), o si a un grupo de elementos de quitamos uno (resta). Después, ya se podrán utilizar representaciones (dibujos) y asociar que a cada número le corresponde un símbolo. Una posible progresión de las operaciones podría ser sumas y restas sin llevar, llevándose, con decenas y unidades sin llevar, llevándose, con decenas y unidades llevándose con ceros, centenas y decenas sin llevar y llevando, etc.
Aritmética elemental.
Maza (1989, cit. en Ayala et al., 2008) secuencia el aprendizaje de las operaciones aritméticas del siguiente modo:
1. Acción: resolución de situaciones mediante la exploración y actuación informal sobre los objetos
2. Vínculos entre acción y lenguaje: conexión entre las acciones y los verbos que las describen (quitar, restar, separar, retirar,…)
3. Narración de la acción: relato de las acciones y su resolución.
4. Representación gráfica: representación de las acciones mediante gráficos (diagramas, dibujos, etc.)
5. Expresión simbólica: introducción de la notación matemática que corresponde a cada acción)
6. Desarrollo de estrategias: adquisición de estrategias que pongan en juego las distintas
relaciones aritméticas (6 + 5 a partir de los dobles 5+5)
7. Aplicación de algoritmos: extensión de las estrategias anteriores y otras
Estimación y cálculo mental.
Las estrategias de cálculo mental y estimación están ligados a las operaciones aritméticas.
Cálculo mental: Según Maza (1991, cit. en Ayala, 2008) el cálculo mental es un proceso no escrito de realización de una determinada operación aritmética. Los procedimientos deben ser variados y flexibles (no uniformes), activos y constructivos (no rutinarios) y con un tratamiento holístico.
Estimación: La estimación se enfrenta mediante un juicio a valor a la exactitud de la operación aritmética. Esta falta de exactitud es cuestionada en el objetivo matemático, sin embargo, es muy útil social y cognitivamente.
Es importante no dejar de lado la parte creativa, que también es importante para el proceso de enseñanza aprendizaje. Es por ello que como parte de la enseñanza de las operaciones matemáticas te comparto un video para que puedas aplicarlo en tu salón de clases o incluso puedes implementarlo en los recreos.
En Educación Infantil hay muchas actividades de contenido lógico: reconocer mediante la observación, discriminar cualidades sensoriales, comparar, clasificar, hacer seriaciones, relacionar y asociar ideas, estructurar el espacio, encajar figuras, etc. Es importante trabajar de forma general siempre con ejercicios manipulativos que posteriormente se pueden representar. Aquí es donde se introduce el uso de símbolos que representen objetos, acciones o características para entender mejor los diferentes contenidos. A continuación, se analiza cómo trabajar los diferentes contenidos:
Principio de conservación
El principio de la conservación.
Durante el primer ciclo de Educación Primaria los niños están asimilando el principio de conservación, es decir, necesitan entender, que un elemento no cambia, es decir se conserva igual aunque lo cambiemos de medio o forma. Así pues, es importante trabajar este aspecto para la interiorización de este. Por ejemplo, podemos hacer una bola con arcilla y ver como a pesar de realizarle cambios en su forma, siempre podrá volver a su forma inicial y ver como se ha conservado. También podemos trasvasar líquidos en diferentes recipientes y observar que no aumenta ni disminuye su cantidad.
Correspondencia
El trabajo de la correspondencia ayuda a los niños a entender las relaciones entre los elementos. Por ejemplo, pueden ser los encargados de repartir los utensilios de clase, en un principio pueden ser muy simples, como repartir un lápiz por niño, pero poco a poco, podemos pedir que se repartan unas tijeras por grupo, 3 juegos de lápices de colores por grupo y una barra de pegamento por pareja.
Clasificaciones
La clasificación es otra estrategia que ayuda al pensamiento lógico, el alumno irá definiendo los grupos que va formando, cuáles son sus características y que parecidos y diferencias pueden tener. Por ejemplo, dividir los compañeros de clase según su nacimiento, clasificar diferentes elementos según su forma, realizar mapas conceptuales, etc.
Seriaciones
La formación de series, ayudará a entender muchos conceptos matemáticos posteriores. Por
ejemplo, pueden completar un collar por colores, completar una serie de elementos según su longitud o tamaño, etc.
En conclusión: El pensamiento Lógico-Matemático está relacionado con la habilidad de trabajar y pensar en términos de números y la capacidad de emplear el razonamiento lógico. El desarrollo de este pensamiento, es clave para el desarrollo de la inteligencia matemática y es fundamental para el bienestar de los niños y niñas y su desarrollo, ya que este tipo de inteligencia va mucho más allá de las capacidades numéricas, aporta importantes beneficios como la capacidad de entender conceptos y establecer relaciones basadas en la lógica de forma esquemática y técnica. Implica la capacidad de utilizar de manera casi natural el cálculo, las cuantificaciones, proposiciones o hipótesis. Todos nacemos con la capacidad de desarrollar este tipo de inteligencia. Las diferentes capacidades van a depender de la estimulación recibida.
Como parte complementaria puedes ver el siguiente video, que es muy interesante cuando del pensamiento lógico se trata.
En la mayor parte de la vida los malos resultados del presente son a causa de las malas experiencias en el pasado, por tal razón es importante comenzar con esa vivencia matemática desde el hogar para que vayamos creciendo juntos en esta rama.
Vivir las matemáticas consiste en fijar la atención de los hijos en la relación espacial de los objetos, sus propiedades geométricas, líneas, superficies, distancias, tamaños... Las matemáticas forman parte del orden lógico del pensamiento y para enseñar matemáticas lo más importante para motivar a los niños hacia los números es que vean su utilidad.
El juego tiene un papel fundamental para ensañar el sentido práctico que tienen las matemáticas en la vida real. Utlizando elementos caseros de los que fácilmente podemos tener en casa les transmiteremos más fácilmente esa cercanía necesaria que necesitan las matemáticas para ser interiorizadas en el pensamiento infantil.
Juegos que puedes utilizar desde el hogar:
1. Pinzas de la ropa. De 2 a 3 años. A los más pequeños de dos o tres años les daremos una cubeta con pinzas y dejaremos que jueguen libremente con ellas. Les podemos ir haciendo preguntas para que reflexionen sobre las cualidades perceptibles, como el color, medida, textura, forma. ¿En qué cubeta has puesto las pinzas amarillas? ¿En qué cubeta has puesto las pinzas de madera? ¿Puedo poner esta pinza (madera) con las de plástico? ¿Por qué?
2. Pinzas de la ropa.De 4 a 5 años. Cuando son más mayores, con cuatro o cinco años, podemos realizar más actividades. Después de jugar libremente con las pinzas, los niños harán ordenaciones o construcciones con ellas, de manera que establezcan relaciones cuantitativas y cualitativas. Les preguntaremos: ¿Qué pinzas has puesto en esta cubeta? ¿Y en la otra? ¿Puede ir esta pinza en otra cubeta? ¿Por qué? Si han hecho figuras geométricas con las pinzas, podemos sugerir que la hagan más grande o que la conviertan en otras, dependiendo de la edad.
3. Pinzas de la ropa. De 5 a 7 años. Ofreceremos al niño todas las pinzas y una bandeja. El niño realizará series cada vez más complejas de hileras de pinzas, etc. Para reflexionar sobre las medidas de longitud, le preguntaremos: ¿Qué hilera de pinzas es más larga? ¿Y la más corta? ¿Cuántas pinzas tiene cada una? ¿Cuántas pinzas tiene más la larga que la corta? Las series también pueden realizarse enganchando las pinzas en el borde de la bandeja o en una cuerda colgada, lo que favorece la habilidad manual de la pinza (pulgar, índice) tan necesaria para coger bien el lápiz y otros utensilios.
4. Llaves de colores. Con niños de cinco a ocho años, podemos realizar una actividad de numeración. Con dos a más niños, se pondrán 20 llaves blancas en el suelo y se jugará con un dado. Tirarán el dado, y cada chico cogerá tantas llaves blancas como puntos salgan. Cuando se acaben las llaves, ganará quien tenga más. Se puede complicar usando más llaves y dos dados, para que sumen. Otra dificultad consistiría en añadir llaves amarillas, que valdrían por dos blancas. También se puede intentar que resten calculando por cuantos puntos ganan a los demás.
5. El dominó. Las fichas del dominó nos servirán para varios juegos divertidos:
Buscar las fichas que tenga un 5 y ponerlas dentro de una bandeja.
Ordenar las fichas que tienen un 5 fijándose en el otro número.
Poner en una bandeja las fichas que tienen 4 y en otras las que tienen 3. Las fichas que tienen el 3 y el 4 a la vez dejarlas en medio.
Poner en una bandeja las fichas que suman 4 entre los dos números. ¿Cuántas son? Ordenarlas.
Coger todas las fichas que tienen dos puntos más en un lado que en el otro.
Uno de los aspectos fundamentales para que el proceso de enseñanza-aprendizaje resulte efectivo es que los alumnos lo afronten motivados. Sin embargo, a menudo es difícil de conseguir. Sobre todo en áreas como las matemáticas, donde el nivel de abstracción es mayor, se requiere un alto esfuerzo de comprensión por parte del alumno, y los estudiantes no acaban de entender para qué les sirve y qué aplicaciones tiene en su vida real. Te damos cinco consejos o estrategias que puedes aplicar para conseguir que tus alumnos encaren el aprendizaje de las matemáticas con una actitud positiva.
CONSEJOS PARA ANIMAR A LOS ESTUDIANTES EN MATEMATICAS.
1. Descubre a tus alumnos la magia de las matemáticas. La mayoría de los alumnos afronta el estudio de las matemáticas con cierta negatividad, ya sea por sus malos resultados o porque la asignatura les parece compleja y abstracta. Es importante que reviertas cuanto antes esta visión. Para empezar, muestra tu entusiasmo y adopta una actitud motivadora. Explícales que las matemáticas se encuentran en casi todas las cosas que conocemos: en la naturaleza, en el espacio, en el arte, e incluso en la rima de una poesía. Y descúbreles la belleza de los números.
2. Vincula las matemáticas al entorno de tus alumnos. Mostrar a tus alumnos las aplicaciones que tienen las matemáticas en el mundo real restará abstracción a estas y les ayudará a comprender su utilidad. En este sentido, es importante que no enfoques su aprendizaje a través de actividades repetitivas donde se practique el cálculo o se ejercite la geometría fuera de contexto. Es mejor que plantees problemas ligados a la vida real donde deban hallar la solución llevando a la práctica los conceptos y procesos aprendidos y desarrollando sus habilidades matemáticas.
3. Gamifica las matemáticas.Aplica los mecanismos propios del juego a las actividades que propongas en clase. Puedes plantear un acertijo o un problema, y otorgar puntos o insignias de reconocimiento al alumno o grupo de alumnos que primero lo solucione. El reto motivará a tus alumnos a poner en práctica sus conocimientos matemáticos. Si además agrupas a los estudiantes por equipos, fomentarás el aprendizaje colaborativo y la participación, desarrollarás sus habilidades sociales, y facilitarás que se ayuden unos a otros a aprender, movidos por el afán de resolver el reto. En este articulo encontrarás una selección de webs con retos, juegos y pasatiempos matemáticos.
4. Atiende la diversidad del aula. Si un alumno se encalla en un tema, lo más probable es que se desanime y se retrase en el aprendizaje. Así que presta atención e intenta ayudar a los alumnos que necesitan un refuerzo planteando actividades, problemas o recursos que les ayuden a salir de dudas y ejercitar aquellas áreas o conceptos que les exigen mayor esfuerzo de comprensión. Puedes recomendarles:
Canales de video matematico donde puedan revisar lo aprendido en clase.
Actividades extra para realizar en casa, de páginas como Retomates o Matemática online.
Si ven que progresan y resuelven sus dudas, estarán más motivados para aprender.
5. Apuesta por la evaluación formativa. Evalúa los conocimientos matemáticos de tus alumnos de una manera continua, activa e interactiva. De este modo, conocerás sus progresos y podrás detectar más fácilmente los conceptos, procedimientos y estrategias que más dificultades les generan. Esto te permitirá redefinir tus clases y personalizar el aprendizaje de tus alumnos en función de sus necesidades y haciendo hincapié en los temas que más difíciles les resultan. Ejercitando y poniendo a prueba sus conocimientos de manera frecuente, y no solo a través de pruebas o exámenes aislados, serán conscientes de sus errores, aprenderán a superarlos, y adquirirán confianza, lo que repercutirá en una actitud más positiva hacia el aprendizaje.
Puedes acceder a diversos canales, paginas o Matemática online matemáticos en el siguiente enlace:
“Las matemáticas son el alfabeto con el que Dios ha escrito el universo.” Galileo Galilei
Las matemáticas son consideradas como base fundamental en toda persona, también se considera a las matemáticas como la reina de las ciencias, ya que para realizar distintas actividades o acción siempre estamos empleando una función matemática, ya sea sumando, restando, dividiendo o multiplicado.
Sin embargo, la opinión mayoritaria es que las matemáticas juegan un papel importante en la sociedad. En efecto, las matemáticas como se ha mencionado en otros apartados, están presentes en cualquier faceta de nuestra vida diaria: el uso de los cajeros automáticos de un banco, las comunicaciones por telefonía móvil, la predicción del tiempo, las nuevas tecnologías, la arquitectura, e incluso, aunque no es tan conocido, también en una obra de arte, en la música, en la publicidad, en el cine o en la lectura de un libro.
En el ámbito educativo, las matemáticas configuran actitudes y valores en los alumnos pues garantizan una solidez en sus fundamentos, seguridad en los procedimientos y confianza en los resultados obtenidos. Todo esto crea en los niños una disposición consciente y favorable para emprender acciones que conducen a la solución de los problemas a los que se enfrentan cada día.
A su vez, las matemáticas contribuyen a la formación de valores en los niños, determinando sus actitudes y su conducta, y sirviendo como patrones para guiar su vida, como son, un estilo de enfrentarse a la realidad lógico y coherente, la búsqueda de la exactitud en los resultados, una comprensión y expresión clara a través de la utilización de símbolos, capacidad de abstracción, razonamiento y generalización y la percepción de la creatividad como un valor.
La educación a través del juego, experimentos prácticos y pensamiento crítico, son nuevos métodos para enseñar matemáticas y ciencias, que elevan el rendimiento y estimulan el aprendizaje en docentes y estudiantes. Así lo indican estudios y seguimientos de proyectos llevados a cabo por el Banco Interamericano de Desarrollo "BID".
Las matemáticas son algo absolutamente fascinante. Y están en todos lados: en las simetrías de los pétalos de las flores, en las conchas de los moluscos, en el patrón que siguen las manchas que tienen en la piel muchos animales, en los hexágonos de los copos de nieve, en la música, en los cristales minerales, en el arte… Vivimos rodeados de matemáticas.
Aragón, afirma además que las matemáticas "nacen por la necesidad de contar y de medir". Con el paso del tiempo, esta comenzó a orientarse hacia otras ciencias y aplicaciones, convirtiéndose en un conjunto de abstracciones.
Las matemáticas son nuestra forma de ver la naturaleza, más que el lenguaje en el que la naturaleza está escrita. Y son creíblemente eficientes.
Newton, por ejemplo, inventa el cálculo diferencial integral pensando en un fenómeno físico como es la gravitación.
¿Todo lo que nos rodea se puede
explicar con el lenguaje matemático?
Muchas cosas sí: todo lo que son fenómenos naturales, también el arte, la música… No hay nada más matemático que la música. Sin embargo, hay cuestiones como los fenómenos sociales, donde es muy difícil que las matemáticas funcionen, porque intervienen muchos factores. Piense por ejemplo en predecir el comportamiento de la bolsa de valores: con que uno de los compradores se asuste y venda, se puede desencadenar una venta en cascada y que caiga la bolsa. Hay un artículo que el físico Eugene Wigner escribió en los años 30 y cuyo título ya dice mucho: "La irrazonable efectividad de las matemáticas para describir las ciencias naturales". En él, Wigner llega a la conclusión de que no se sabe por qué las matemáticas son tan eficientes. Es un artículo muy famoso que se ha escrito, reescrito, discutido… Pero sigue sin haber una conclusión.
Hay modelos matemáticos que tratan de predecir esas cosas, pero son modelos que contienen en sí mismos esa impredecibilidad.
Incluso a través de las matemáticas se puede llegar a influir en las opiniones: las noticias falsas, las fake news, son creadas por algoritmos matemáticos muy complejos que imitan la manera de escribir de las personas.
Y detrás de todo eso está el conocimiento matemático, y los matemáticos están cada vez más cotizados.
Si miramos atrás, vemos que cuando llegó el desarrollo de la energía nuclear los profesionales más cotizados eran los físicos. Después llegó el boom de la ingeniería genética, y los más cotizados pasaron a ser los biólogos. Y ahora son los matemáticos.
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