Las propiedades de las operaciones son un contenido del programa escolar que todos los docentes atienden y del que nadie discute la necesidad de su enseñanza. Es interesante preguntarse si tal como se trabajan habitualmente tienen una verdadera relevancia, aportan a una concepción de enseñanza que promueva “hacer matemáticas” o simplemente forman parte del listado de contenidos que la tradición escolar indica que no deben faltar.

La presentación de las propiedades en casos puntuales, con ejemplos específicos que las ponen evidencia, no las convierten en herramientas para resolver cálculos ni se comprenden como soporte y fundamento de los algoritmos convencionales. La escasa incidencia aún, del cálculo mental en el trabajo de aula, oportunidad inmejorable para el uso implícito de las propiedades, restringe su potencialidad para la comprensión de los diferentes cálculos. Atendiendo a estas observaciones pensamos que el tratamiento de las propiedades de las operaciones puede y debe insertarse en la exploración de distintos tipos de cálculos.

Me parece relevante explorar el uso de las propiedades de las operaciones en los diferentes tipos de cálculo, analizar su función en cada caso, explicitar su uso y fundamentar su validez para elaborar o trasparentar las reglas que las distinguen. Con tal fin se ha pensado proponer la realización de los siguientes cálculos en forma simultánea usando la calculadora y el cálculo mental.

Problema

Trabajando en duplas, un integrante hace el cálculo mentalmente y registra cómo lo hizo; el otro lo hace con calculadora y registra sus acciones al pulsar las teclas y además lo que aparece en el visor.

1er cálculo

25 x 18 x 4 Es sabido que el repertorio de cálculos es absolutamente personal y que depende de las experiencias de cada uno, así como de las herramientas matemáticas de que se disponga.

Usando cálculo mental.

Analizaremos algunas de las opciones de cálculo mental. Para resolver 25 x 18 x 4 mentalmente es posible pensar, por ejemplo: 25 x 10 = 250 Apelando a la facilidad de la multiplicación por 10 y luego, observando que 5 es la mitad de 10 deducir que: 25 x 5 = 125 Completando con 25 x 3 = 75 que deberá sumarse a los otros productos para obtener 450.

Hasta acá, ¿Qué propiedades se pusieron en juego?, lo que prima son los repertorios de cálculo; sin embargo previamente hubo que pensar en el 18 expresado como 10 + 5 + 3. Al igual que la multiplicación que se define para dos factores, esta suma en que se descompuso el 18, debe ser resuelta de a dos sumandos elegidos en forma conveniente. Estamos frente a la Propiedad Asociativa respecto a la Adición, que nos habilita a convertir un cálculo difícil como 25 x 18 en otros más sencillos. Se usó la misma propiedad para pensar en el 10 como 5 x 2 y así saber sin hacer ningún otro cálculo, que 25 por 5 debe ser la mitad de 250.

Además de la Propiedad Asociativa, en el procedimiento anterior, está presente la Propiedad Distributiva de la Multiplicación respecto a la Adición. Analicemos cómo se “pensó esa cuenta”: 25 x 18 = 25 x (10 + 5 + 3) = 25 x 10 + 25 x 5 + 25 x 3 El 25 está multiplicando al 18, que ahora se está considerando como la suma de 10, 5 y 3, por lo tanto el 25 está multiplicando a 10, a 5 y a 3. Es posible, también, que algunos alumnos perciban este problema como: 25 x 10 + 25 x 10 - 25 x 2 Las propiedades en juego son las mismas, solo que en este caso se está utilizando un producto mayor para calcular uno menor, lo que obliga a restar “lo que sobra” que, en este caso, es 25 x 2.

En lugar de representarse el 18 como (10 + 5 + 3), se lo representa como (10 + 10 - 2). Hemos visto distintas formas de pensar el 25 x 18, pero todavía hay que resolver ese producto por 4. 450 x 4 Este producto puede pensarse de diversas formas: (400 + 50) x 4 = 400 x 4 + 50 x 4 (*) 450 x 2 x 2 Nuevamente la Propiedad Asociativa respalda las descomposiciones, para finalmente completar el cálculo 25 x 18 x 4 = 1800.

Asimismo, en esta producción (*) se usa la Propiedad Distributiva de la Multiplicación respecto a la Adición. Otras veces y siempre de acuerdo con el tipo de números, será conveniente observar toda la situación planteada para buscar asociaciones ventajosas. 25 x 4 x 18 en lugar de 25 x 18 x 4 puede facilitar el uso de cálculos fáciles, que son generalmente los que nos conducen a números redondos o a las potencias de la base del Sistema de Numeración Decimal. La Propiedad Conmutativa de la Multiplicación nos permite obtener 100 en el primer cálculo, modificando la ubicación del factor 4 y asociándolo con 25 usando el repertorio 25 x 4 = 100 Una variación de este cálculo puede ser a partir de conmutar, usar el repertorio “x 2” en forma sucesiva para llegar al 100; 25 x 2 x 2 x 18. En este caso se están usando las Propiedades Conmutativa y Asociativa de la Multiplicación y la descomposición del 4 en factores y repertorio de cálculo x 2.

Usando la calculadora .

Veamos qué sucede cuando se usa la calculadora para realizar el mismo cálculo. Al introducir los números en la calculadora como están presentados sin analizar, irán apareciendo en el visor: Primero, el número 425 como resultado del producto de 25 x 18. Luego, al introducir x 4, aparecerá el número 1800 como resultado del producto de 425 x 18. Este es el resultado de la multiplicación 25 x 18 x 4. Queda en evidencia que la Propiedad Asociativa SIEMPRE está involucrada, no importa cuál sea el tipo de cálculo. Esto se debe a que la multiplicación al igual que la suma, como ya dijimos, está definida para dos factores; por lo tanto, para multiplicar tres factores hay que reducirla primero a dos y luego este producto parcial multiplicarlo por el tercer factor. Al usar la calculadora como instrumento, no es necesario conmutar para facilitar el cálculo.

2º cálculo

147 x 39 x 0 x 21 Usando cálculo mental Si se realiza cálculo mental para resolver esta situación, es necesario establecer, igual que en el caso anterior, relaciones entre los números en juego e identificar que uno de los factores es 0.

Es posible que en una primera instancia, la presencia del 0 y sus consecuencias no sean advertidas y se comience a pensar en adecuaciones para facilitar el producto de 147 x 39. Al encontrar ese producto y proceder a multiplicarlo por 0, si no se tiene totalmente claro cómo funciona la Propiedad de Absorción de la Multiplicación (cero como elemento absorbente), aunque se sepa que esta multiplicación da 0, quizás para algunos alumnos el resultado será 21, ya que este factor no está “afectado” por el 0.

La ubicación del 0 como factor en estas multiplicaciones, puede desencadenar diferentes interpretaciones que, en definitiva, demuestran las dudas en torno a la Propiedad de Absorción. Si el 0 está ubicado al final, probablemente se realicen todas las multiplicaciones y solo al final se obtenga el resultado 0 y, por tanto, se concluya que esta debe ser su ubicación para “absorber” a todos los productos.

¿Cuáles serán las implicancias de iniciar una serie de multiplicaciones con 0? La Propiedad de Absorción habilita a determinar el resultado de la operación y podemos establecer a partir de ella que “si en un producto uno de los factores es 0, el resultado será siempre 0”. ¿Será equivalente para los niños decir que “multiplicar cualquier número por 0 da 0” y que “0 multiplicado por cualquier número da 0”? ¿Conocer estos enunciados garantiza que no haya dudas en problemas como el que presentamos? Creemos que, por el contrario, cálculos como estos deben ser propuestos a los niños, presentar diversos problemas con todas las variaciones posibles. Hacer aparecer todas las dudas, discutirlas y analizarlas posibilitará que reconozcan que es la Propiedad Conmutativa la que garantiza el funcionamiento de la Propiedad de Absorción cualquiera sea la ubicación del 0.

Usando la calculadora

Igual que en el caso anterior, al introducir los números en el visor se obtienen los resultados parciales cada dos factores usando la Propiedad Asociativa, y en el visor aparecerán sucesivamente:

147

5733

Tener presente la Propiedad de Absorción tendría como consecuencia que en ninguno de los dos procedimientos (mental o calculadora) se efectuara cálculo alguno, ya que la presencia de un factor 0 debería permitir la anticipación del resultado 0.

Así como estos ejemplos existen muchos mas sobre las propiedades que existen en las cuatro operaciones básicas, por tal razón te comparto el siguiente video que te puede ser de gran ayuda para una mejor comprensión.